Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 1.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2.2

Addiere $- 8 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.6.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 0$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 3$ und $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $\frac{24}{25}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

Schritt 7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $\frac{8}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 2, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 2, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- \frac{8}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Addiere $3$ und $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Schritt 9.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- \frac{24}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, 2), (2, \infty)$

Schritt 11