Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{2}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (1) = - 2$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 2$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, \infty)$

Schritt 9