Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

Schritt 1.1.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 1.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 1.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

Schritt 1.1.3.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{2} - x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} - x$ .

$x^{2} - x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} - x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} - x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 1$ .

$0, 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{1}{4}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 4 - (2)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f' (2) = 2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, 1)$

Schritt 9