Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12 x^{2}$ aus $12 x^{3} - 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12 x^{2}$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$12 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12 x^{2}$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12 x^{2}$ aus $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1)$ heraus.

$12 x^{2} (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x^{2} (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 1$ .

$0, 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 12 {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 12 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 12$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $12$ von $- 12$ .

$f' (- 1) = - 24$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 24$ .

$- 24$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 24$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{3} - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{3}}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{8}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{8}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6.2.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 6.2.1.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 (\frac{1}{4})$

Schritt 6.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 4 (- 3) (\frac{1}{4})$

Schritt 6.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4}))$

Schritt 6.2.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3$

Schritt 6.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 6}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{3}{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$f' (2) = 96 - 12 {(2)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 96 - 12 \cdot 4$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$f' (2) = 96 - 48$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $48$ von $96$ .

$f' (2) = 48$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $48$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, 1)$

Schritt 9