Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 32 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 32$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 32$ .

$4 x^{3} - 32$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 32 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 32 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = 32$

Schritt 2.3

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 32 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 32$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 32$ heraus.

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ heraus.

$4 (x^{3} - 8) = 0$

Schritt 2.4.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Schritt 2.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 2.4.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Schritt 2.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.7

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.7.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 2.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2$ .

$2$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (1) = 4 - 32$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $32$ von $4$ .

$f' (1) = - 28$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 28$ .

$- 28$

Schritt 5.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 28$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f' (3) = 108 - 32$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $32$ von $108$ .

$f' (3) = 76$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $76$ .

$76$

Schritt 6.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $76$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 2)$

Schritt 8