Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 12 x$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 12 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 12 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = 4 {(- 2.7320508)}^{3} - 12 \cdot - 2.7320508$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.7320508$ mit $3$ .

$f' (- 2.7320508) = 4 \cdot - 20.39230467 - 12 \cdot - 2.7320508$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 20.39230467$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 - 12 \cdot - 2.7320508$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 + 32.7846096$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 81.5692187$ und $32.7846096$ .

$f' (- 2.7320508) = - 48.7846091$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 48.7846091$ .

$- 48.7846091$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2.7320508$ ist die Ableitung $- 48.7846091$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.7320508, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.8660254$ .

$f' (- 0.8660254) = 4 {(- 0.8660254)}^{3} - 12 \cdot - 0.8660254$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.8660254$ mit $3$ .

$f' (- 0.8660254) = 4 \cdot - 0.64951904 - 12 \cdot - 0.8660254$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.64951904$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 - 12 \cdot - 0.8660254$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 0.8660254$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 + 10.3923048$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 2.59807617$ und $10.3923048$ .

$f' (- 0.8660254) = 7.79422862$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.79422862$ .

$7.79422862$

Schritt 6.3

Bei $x = - 0.8660254$ ist die Ableitung $7.79422862$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1.7320508, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \sqrt{3}, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.8660254$ .

$f' (0.8660254) = 4 {(0.8660254)}^{3} - 12 \cdot 0.8660254$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.8660254$ mit $3$ .

$f' (0.8660254) = 4 \cdot 0.64951904 - 12 \cdot 0.8660254$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0.64951904$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 12 \cdot 0.8660254$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $0.8660254$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 10.3923048$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $10.3923048$ von $2.59807617$ .

$f' (0.8660254) = - 7.79422862$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7.79422862$ .

$- 7.79422862$

Schritt 7.3

Bei $x = 0.8660254$ ist die Ableitung $- 7.79422862$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \sqrt{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \sqrt{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = 4 {(2.7320508)}^{3} - 12 \cdot 2.7320508$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.7320508$ mit $3$ .

$f' (2.7320508) = 4 \cdot 20.39230467 - 12 \cdot 2.7320508$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $20.39230467$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 12 \cdot 2.7320508$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 32.7846096$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $32.7846096$ von $81.5692187$ .

$f' (2.7320508) = 48.7846091$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $48.7846091$ .

$48.7846091$

Schritt 8.3

Bei $x = 2.7320508$ ist die Ableitung $48.7846091$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

Schritt 10