Analysis Beispiele

Ermitteln, wo ansteigend/abfallend mittels Ableitungen f(x)=x^4-50x^2
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere.
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Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2
Schreibe als um.
Schritt 2.2.3
Faktorisiere.
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Schritt 2.2.3.1
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 2.2.3.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.4
Setze gleich .
Schritt 2.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 2.5.1
Setze gleich .
Schritt 2.5.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 2.6.1
Setze gleich .
Schritt 2.6.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 3
Die Werte, die die Ableitung gleich machen, sind .
Schritt 4
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum, sodass die Ableitung gleich oder nicht definiert ist.
Schritt 5
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Addiere und .
Schritt 5.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 6.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
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Schritt 6.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 6.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 6.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.1.5.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 6.2.1.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.1.5.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.5.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.2.1.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6.2.1.7
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.1.7.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 6.2.1.7.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.1.7.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.7.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.2.1.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 6.2.3
Kombiniere und .
Schritt 6.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.2.5
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.5.2
Addiere und .
Schritt 6.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 7
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 7.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 7.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.1.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.1.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.1.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.1.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.1.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 7.2.3
Kombiniere und .
Schritt 7.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.2.5
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 7.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 8
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 8.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 8.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 8.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 8.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 9
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Ansteigend im Intervall:
Abfallend im Intervall:
Schritt 10