Analysis Beispiele

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{3} x$ nach $x$ gleich $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 3.6

Vereinfache $π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 3.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 3.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ bei $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ .

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ bei $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 5.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Schritt 5.2.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Schritt 5.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ sind $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Schritt 7