Analysis Beispiele

$y = x^{3} + 3 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} + 3 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 3 = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 3$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$x^{2} = - 1$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 3.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 4

Es gibt keine Tangente an einem imaginären Punkt. Der Punkt $x =$ existiert nicht im reellen Koordinatensystem.

Eine Tangente kann nicht über die Wurzel ermittelt werden

Schritt 5

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + 3 x$ .

No horizontal tangent lines

Schritt 6