Analysis Beispiele

$y = x^{2} + 3 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 x + 3$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x + 3 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{2} + 3 x$ bei $x = - \frac{3}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Schritt 4.2.1.6

Multipliziere $3 (- \frac{3}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Schritt 4.2.1.6.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Schritt 4.2.1.6.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 4.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Schritt 4.2.2

Um $- \frac{9}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x^{2} + 3 x$ ist $y = - \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Schritt 6