Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 6 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} - 6 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ heraus.

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze $2 x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $2 x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $2 x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 3$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.4.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Schritt 3.4.2.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

Schritt 4.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = 2$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ bei $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{4}$ als $6^{2}$ um.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $16$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Schritt 5.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

Schritt 5.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 5.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

Schritt 5.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

Schritt 5.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Schritt 5.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Schritt 5.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Schritt 5.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Schritt 5.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

Schritt 5.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 5.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

Schritt 5.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Schritt 5.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Schritt 5.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 5.2.1.9

Multipliziere $- 3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.9.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

Schritt 5.2.1.9.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

Schritt 5.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

Schritt 5.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 9$ und $8$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ sind $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ .

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

Schritt 7