Analysis Beispiele

$y = x + \sin (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x + \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 + \cos (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 3.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 3.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 3.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x + \sin (x)$ bei $x = π$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$f (π) = (π) + \sin (π)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (π) = π + \sin (0)$

Schritt 4.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (π) = π + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $π$ und $0$ .

$f (π) = π$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $π$ .

$π$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x + \sin (x)$ bei $x = π + 2 π$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π + 2 π$ .

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $π$ und $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

Schritt 5.2.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

Schritt 5.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $π$ und $2 π$ .

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $3 π$ und $0$ .

$f (π + 2 π) = 3 π$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $3 π$ .

$3 π$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x + \sin (x)$ ist $y = π, y = 3 π$ .

$y = π, y = 3 π$

Schritt 7