Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} - 8 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x (3 x) - 8 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot - 8$ heraus.

$x (3 x - 8) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $3 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x - 8$ gleich $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ bei $x = \frac{8}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

Schritt 4.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere $- 4 (\frac{64}{9})$ .

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Schritt 4.2.1.7.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

Schritt 4.2.1.7.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

Schritt 4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

Schritt 4.2.2

Um $- \frac{256}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{256}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 256$ mit $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $768$ von $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{256}{27}$ .

$- \frac{256}{27}$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ sind $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

Schritt 6