Analysis Beispiele

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ als ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3.6

Addiere $4 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.3.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.5

Addiere $4$ und $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 8$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (2)$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $16 x (- x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ als ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3.6

Addiere $4 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.4.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Addiere $4$ und $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 8$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (2)$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $16 x (- x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ als ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3.6

Addiere $4 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.5.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Addiere $4$ und $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 8$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (2)$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $16 x (- x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Schritt 3.2.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Schritt 3.2.5.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ und $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

Schritt 3.2.7.2

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

Schritt 3.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' + 4 y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $4 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ heraus.

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ durch $2 (y + 2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ durch $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 4$ heraus.

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Schritt 3.5.3.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (1)$ heraus.

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.3.2.6.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x - 1) = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 1) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 1) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- (1) + 2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Schritt 5.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (1) = 0$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- (1) + 2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Schritt 6.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

Schritt 8