Analysis Beispiele

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

Schritt 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.2.6.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 (x^{2} - y^{2})$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 2.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 2.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 2.3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$25 (2 x - 2 y y')$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Schritt 2.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Schritt 2.3.5.3

Stelle die Terme um.

$- 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

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Schritt 2.5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 2.5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.1.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 2.5.2

Addiere $50 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Schritt 2.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.3.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Schritt 2.5.3.2

Subtrahiere $8 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2}$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $50 y y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 2.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

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Schritt 2.5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $2$ .

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Schritt 2.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $50 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 2.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 2.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Schritt 2.5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Schritt 2.5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Schritt 2.5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Schritt 2.5.5.3.2

Um $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 2.5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Schritt 2.5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ um.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.5.3.6.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.7

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ heraus.

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Schritt 2.5.5.3.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $25 x$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.7.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.9

Schreibe $25$ als $- 1 (- 25)$ um.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.5.3.13.1

Schreibe $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ als $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.5.5.3.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Setze $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Löse $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

Schritt 3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 3.2.3.2.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

Schritt 3.2.3.2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

Schritt 3.2.3.2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.2.3.2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

Schritt 3.2.3.2.2.3.1.2.4

Dividiere $- y^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

Schritt 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

Schritt 3.2.3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.2.4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

Schritt 3.2.3.2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

Schritt 3.2.3.2.4.3

Schreibe $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{5}{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

Schritt 3.2.3.2.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{5}{2}$ und $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

Schritt 3.2.3.2.4.5

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Schritt 3.2.3.2.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.3.2.4.6.1

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Schritt 3.2.3.2.4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Schritt 3.2.3.2.4.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Schritt 3.2.3.2.4.8

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 3.2.3.2.4.9

Kombiniere $- y$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

Schritt 3.2.3.2.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.2.3.2.4.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

Schritt 3.2.3.2.4.12

Mutltipliziere $\frac{5 + 2 y}{2}$ mit $\frac{5 - 2 y}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.3.2.4.13

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

Schritt 3.2.3.2.4.14

Schreibe $\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ um.

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Schritt 3.2.3.2.4.14.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

Schritt 3.2.3.2.4.14.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.2.3.2.4.14.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

Schritt 3.2.3.2.4.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

Schritt 3.2.3.2.4.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Schritt 3.2.3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Schritt 3.2.3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Schritt 3.2.3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 25 ({(0)}^{2} - y^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 25 (0 - y^{2})$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $y^{2}$ von $0$ .

$f (0) = 25 (- y^{2})$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (0) = - 25 y^{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 25 y^{2}$ .

$- 25 y^{2}$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 ({(\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2})}^{2} - y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}$ als $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ um.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ als ${((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{({((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.2

Multipliziere $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $5 (- 2 y)$ und $2 y \cdot 5$ neu an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Addiere $- 2 \cdot 5 y$ und $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.3.3

Addiere $5 \cdot 5$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.4.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.4.3.1

Bewege $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y))}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.4.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2})}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.6

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - {(2 y)}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = 2 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - (2 y))}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2})$

Schritt 5.2.2

Um $- y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $- y^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $5 (- 2 y)$ und $2 y \cdot 5$ neu an.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $- 2 \cdot 5 y$ und $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.2.3

Addiere $5 \cdot 5$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.3.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.4.3.3.1

Bewege $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.3.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2}) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - 4 y^{2}}{4})$

Schritt 5.2.4.5

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $- 4 y^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 8 y^{2}}{4})$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $25$ und $\frac{25 - 8 y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$ .

$\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Schritt 6

The horizontal tangent lines are $y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

$y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Schritt 7