Analysis Beispiele

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

Schritt 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + x y - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{4}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$8 (4 x^{3})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 x^{3}$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' + x y' - y'$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Schritt 2.5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ heraus.

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Schritt 2.5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

Schritt 2.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ durch $3 y^{2} + x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ durch $3 y^{2} + x - 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Schritt 2.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} + x - 1$ .

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Schritt 2.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Schritt 2.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Schritt 2.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$32 x^{3} - y = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$32 x^{3} = y$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $32 x^{3} = y$ durch $32$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $32 x^{3} = y$ durch $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{y}{32}$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $\frac{y}{32}$ als ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ um.

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Schritt 3.2.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $y$ heraus.

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

Schritt 3.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{3}$ aus $32$ heraus.

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

Schritt 3.2.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

Schritt 3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

Schritt 3.2.4.3

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 3.2.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Schritt 3.2.4.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.5.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.4.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.5.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.2.4.5.1.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 3.2.4.5.1.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 3.2.4.5.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.2.4.5.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.2.4.5.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.2.4.5.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.4.5.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.2.4.5.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 3.2.4.5.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.4.5.2

Kombinieren.

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.4.5.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.4.5.3.1

Mutltipliziere $\sqrt[3]{y}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.4.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

Schritt 3.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.6.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

Schritt 3.2.4.6.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

Schritt 3.2.4.6.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.4.6.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

Schritt 3.2.4.6.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

Schritt 3.2.4.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

Schritt 3.2.4.6.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

Schritt 3.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 3.2.4.7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ heraus.

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

Schritt 3.2.4.7.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.4.7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.4.7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.2.4.7.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ als $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe $16 y^{4}$ als ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ um.

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Schritt 4.2.2.4.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.4.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.4.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.4.4

Bewege $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.4.5

Schreibe $2^{3} y^{3}$ als ${(2 y)}^{3}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.4.6

Füge Klammern hinzu.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $256$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $32$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y \sqrt[3]{2 y}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

Schritt 4.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ .

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Schritt 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Schritt 6