Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

Schritt 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$6 (x y' + y)$

Schritt 2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x y' + 6 y$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Subtrahiere $6 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y' - 6 x y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 6 x y'$ heraus.

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ heraus.

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ durch $3 (y^{2} - 2 x)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ durch $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 y$ heraus.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Schritt 2.5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Schritt 2.5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Schritt 2.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 y - x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 2 y$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2 y$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2 y$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

Schritt 3.2.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 y)$ als $- (- 2 y)$ um.

$x^{2} = - (- 2 y)$

Schritt 3.2.2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} = 2 y$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2 y}$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2 y}$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2 y}$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $6 \sqrt{2 y}$ mit $y$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 \sqrt{2 y} y$ .

$6 \sqrt{2 y} y$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2 y}$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 \sqrt{2 y} y$ .

$- 6 \sqrt{2 y} y$

Schritt 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

Schritt 7