Analysis Beispiele

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ und $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.1.5.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.5.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.5.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.5.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.5.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.5.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

Schritt 1.1.5.14

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ heraus.

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Schritt 1.1.6.1.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ heraus.

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Schritt 1.1.6.1.2

Faktorisiere $1$ aus $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ heraus.

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Schritt 1.1.6.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ heraus.

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Schritt 1.1.6.2

Mutltipliziere $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Schritt 1.1.6.3

Stelle die Terme um.

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.4.1

Multipliziere $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.4.2.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.6.4.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.4.2.5.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.4

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.5

Multipliziere $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.6.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.6.4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.4.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.4.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.4.6.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.6.4.6.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.6.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

Schritt 1.1.6.4.6.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

Schritt 1.1.6.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ .

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Schritt 1.1.6.5.1

Addiere $- 2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

Schritt 1.1.6.5.2

Addiere $2 x + 2 - 2 x^{3}$ und $0$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

Schritt 1.1.6.6

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

Schritt 1.1.6.7

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 - 4 x^{3} + 6 x$ .

$2 - 4 x^{3} + 6 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 - 4 x^{3} + 6 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 - 4 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $2 - 4 x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Bewege $2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $6 x$ heraus.

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $2$ heraus.

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ heraus.

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ heraus.

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2 x^{3} - 3 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5$

Schritt 2.2.2.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1 - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

Schritt 2.2.2.1.5

Dividiere $2 x^{3} - 3 x - 1$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Schritt 2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Schritt 2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Schritt 2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Schritt 2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Schritt 2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Schritt 2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Schritt 2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 2 x - 1$

Schritt 2.2.2.1.6

Schreibe $2 x^{3} - 3 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Setze $2 x^{2} - 2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $2 x^{2} - 2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte ${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${((- 1) + 1)}^{2} (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0^{2} (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

Schritt 4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 (- 2 - {(- 1)}^{2})$

Schritt 4.1.2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$0 (- 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})$

Schritt 4.1.2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 (- 2 + {(- 1)}^{1 + 2})$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$0 (- 2 + {(- 1)}^{3})$

Schritt 4.1.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 (- 2 - 1)$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$0 \cdot - 3$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 3$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

${((\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{1 + \sqrt{3} + 2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

${(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.1.6

Schreibe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.3.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 6 \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 4.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 (6) + 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (6) + 2 (3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (6) + 2 (3 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (2 \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 4.2.2.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.4

Schreibe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.2.2.5.5

Multipliziere $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.2.2.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.2.2.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.6.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.2.2.5.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.2.2.5.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)})$

Schritt 4.2.2.5.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.2.2.5.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 + \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - (2 + \sqrt{3})}{2} + \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.7.1.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{0 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.7.1.4

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $0$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{- \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.8

Um $\sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 4.2.2.9

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.9.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2})$

Schritt 4.2.2.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Schritt 4.2.2.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.10.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.2.10.2

Addiere $- \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.2.11

Multipliziere $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(6 + 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(6 + 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.2.12

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.2.13

Multipliziere $3 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.13.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.2.13.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 4.2.2.13.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 4.2.2.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.2.14

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.14.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.14.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.2.14.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.2.2.14.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.2.2.14.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.14.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.2.2.14.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 4.2.2.14.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3}{4}$

Schritt 4.2.2.14.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 9}{4}$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

${((\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{1 - \sqrt{3} + 2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

${(\frac{3 - \sqrt{3}}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.1.6

Schreibe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 \sqrt{3}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 (6) - 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (6) + 2 (- 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (6) + 2 (- 3 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (2 \frac{1 - \sqrt{3}}{2} - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.4

Schreibe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.5

Multipliziere $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.2.6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.6.3

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 2 \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 4.3.2.4.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.4.2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.3.2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.4.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - (2 - \sqrt{3})}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 - - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.5.3

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.3.2.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 + 1 \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.5.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.5.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{0 + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.5.5

Addiere $0$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Schritt 4.3.2.6

Um $- \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 4.3.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.3.2.7.1

Kombiniere $- \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2})$

Schritt 4.3.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Schritt 4.3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.2.8.2

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.3.2.10

Multipliziere $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Schritt 4.3.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{(6 - 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{(6 - 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.11

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.12

Multipliziere $- 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.3.2.12.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3.2.12.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 4.3.2.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 4.3.2.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 4.3.2.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.13.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.13.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.3.2.13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.3.2.13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.2.13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.2.13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 4.3.2.13.1.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3}{4}$

Schritt 4.3.2.13.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 9}{4}$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 0), (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{6 \sqrt{3} + 9}{4}), (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{6 \sqrt{3} - 9}{4})$

Schritt 5