Analysis Beispiele

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Schritt 1.1.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 1.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 1.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

Schritt 1.1.3.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - x$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Addiere $0$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - x$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x + \frac{1}{3}$ .

$- x + \frac{1}{3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x + \frac{1}{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{1}{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{1}{3}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Schritt 2.3.3.2

Dividiere $\frac{1}{3}$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Multipliziere $\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 4.1.2.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.2.6

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 2$ um.

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $18$ .

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

Schritt 4.1.2.4.2

Addiere $72$ und $2$ .

$\frac{74 - 1}{18}$

Schritt 4.1.2.4.3

Subtrahiere $1$ von $74$ .

$\frac{73}{18}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

Schritt 5