Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte f(x)=3x(16-x)^3
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.4
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.4.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.4.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.4.3
Addiere und .
Schritt 1.1.4.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.4.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.4.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.4.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.4.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.4.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.3
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.5.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.5.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.5.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.5.5
Schreibe als um.
Schritt 1.1.5.6
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.6.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.5.6.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.5.6.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.5.7
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.7.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.7.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.7.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.7.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.7.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.5.7.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.7.1.5.1
Bewege .
Schritt 1.1.5.7.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.7.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.7.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.7.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.5.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.5.9
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.10
Multipliziere aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.
Schritt 1.1.5.11
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.11.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.11.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.11.3
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.5.11.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.11.4.1
Bewege .
Schritt 1.1.5.11.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.11.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.11.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.11.7
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.5.11.8
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.11.8.1
Bewege .
Schritt 1.1.5.11.8.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.11.8.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.5.11.8.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.5.11.8.3
Addiere und .
Schritt 1.1.5.11.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.11.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.12
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.5.13
Addiere und .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.6
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.7
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2
Stelle die Terme um.
Schritt 2.2.3
Faktorisiere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.3.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
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Schritt 2.2.3.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 2.2.3.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 2.2.3.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
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Schritt 2.2.3.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 2.2.3.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.2.3.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.3.1.3.4
Potenziere mit .
Schritt 2.2.3.1.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.3.1.3.6
Addiere und .
Schritt 2.2.3.1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.3.1.3.8
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.3.1.3.9
Addiere und .
Schritt 2.2.3.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 2.2.3.1.5
Dividiere durch .
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Schritt 2.2.3.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
--+-+
Schritt 2.2.3.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
--+-+
Schritt 2.2.3.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
--+-+
-+
Schritt 2.2.3.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
--+-+
+-
Schritt 2.2.3.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
--+-+
+-
+
Schritt 2.2.3.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-
--+-+
+-
+-
Schritt 2.2.3.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+
--+-+
+-
+-
Schritt 2.2.3.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+
--+-+
+-
+-
+-
Schritt 2.2.3.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+
--+-+
+-
+-
-+
Schritt 2.2.3.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+
--+-+
+-
+-
-+
-
Schritt 2.2.3.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-+
--+-+
+-
+-
-+
-+
Schritt 2.2.3.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
Schritt 2.2.3.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
-+
Schritt 2.2.3.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
+-
Schritt 2.2.3.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
+-
Schritt 2.2.3.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 2.2.3.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 2.2.3.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 2.2.4
Faktorisiere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.4.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.4.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.4.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.4.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 2.2.4.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.4.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.4.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 2.2.4.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 2.2.4.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 2.2.4.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 2.2.5
Kombiniere Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.5.2
Schreibe als um.
Schritt 2.2.5.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.5.4
Schreibe als um.
Schritt 2.2.5.5
Entferne die Klammern.
Schritt 2.2.5.6
Potenziere mit .
Schritt 2.2.5.7
Potenziere mit .
Schritt 2.2.5.8
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.5.9
Addiere und .
Schritt 2.2.5.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Setze gleich .
Schritt 2.4.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Setze gleich .
Schritt 2.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.1
Setze gleich .
Schritt 2.5.2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.2.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.4.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2.4.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.2.4.2
Addiere und .
Schritt 4.1.2.5
Potenziere mit .
Schritt 4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.2.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 5