Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Schritt 2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $15$ aus $15 u^{2} - 30 u + 15$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 u^{2}$ heraus.

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $15$ aus $- 30 u$ heraus.

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Schritt 2.3.1.4

Faktorisiere $15$ aus $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ heraus.

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Schritt 2.3.1.5

Faktorisiere $15$ aus $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ heraus.

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ durch $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere ${(u - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.5

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 2.6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 2.8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.8.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.8.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.8.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.8.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Schritt 4.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$3 - 10 + 15$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $10$ von $3$ .

$- 7 + 15$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 7$ und $15$ .

$8$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Schritt 4.2.2.1.5

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $- 3$ und $10$ .

$7 - 15$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $15$ von $7$ .

$- 8$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Schritt 5