Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} + 2 x + 2$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ heraus.

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ heraus.

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + x + 1$ durch $1$ .

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{11}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

Schritt 2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

Schritt 2.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.3

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.8.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{11}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

Schritt 2.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

Schritt 2.8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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