Analysis Beispiele

$y = 2 \sqrt{x} - x$

Schritt 1

Stelle $2 \sqrt{x}$ und $- x$ um.

$y = - x + 2 \sqrt{x}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $y = 2 \sqrt{x} - x$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 3

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - (0) + 2 \sqrt{0}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \sqrt{0}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = 0 + 2 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 1)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - (1) + 2 \sqrt{1}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 \sqrt{1}$

Schritt 5.1.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Schritt 5.1.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (1) = 1$

Schritt 5.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - (2) + 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, 0), (1, 1), (2, 0.83)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.83 \end{array}$

Schritt 6