Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Limes von ( Quadratwurzel von 1+x- Quadratwurzel von 1-x)/x für x gegen 0
Schritt 1
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 1.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 1.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.2.2
Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.
Schritt 1.1.2.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.2.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 1.1.2.5
Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.
Schritt 1.1.2.6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.2.7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 1.1.2.8
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 1.1.2.8.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.2.8.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.2.9
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 1.1.2.9.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.2.9.1.1
Addiere und .
Schritt 1.1.2.9.1.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 1.1.2.9.1.3
Addiere und .
Schritt 1.1.2.9.1.4
Jede Wurzel von ist .
Schritt 1.1.2.9.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 1.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 1.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.3
Berechne .
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Schritt 1.3.3.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.3.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3.6
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.3.3.7
Kombiniere und .
Schritt 1.3.3.8
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.3.3.9
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.3.3.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.3.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.3.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.3.3.11
Addiere und .
Schritt 1.3.3.12
Kombiniere und .
Schritt 1.3.3.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.3.14
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.3.4
Berechne .
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Schritt 1.3.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.3.4.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.4.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.3.4.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.4.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.4.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3.4.4
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.4.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.4.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.4.7
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.4.8
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.3.4.9
Kombiniere und .
Schritt 1.3.4.10
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.3.4.11
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.3.4.11.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4.11.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.4.12
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.3.4.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4.14
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.4.15
Kombiniere und .
Schritt 1.3.4.16
Kombiniere und .
Schritt 1.3.4.17
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.3.4.18
Schreibe als um.
Schritt 1.3.4.19
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.3.4.20
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.3.4.21
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4
Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.
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Schritt 1.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.2
Schreibe als um.
Schritt 1.5
Dividiere durch .
Schritt 2
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.5
Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.
Schritt 2.6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.8
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.9
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.10
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.11
Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.
Schritt 2.12
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.13
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 3
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 4.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.1
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 4.1.1.1
Addiere und .
Schritt 4.1.1.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 4.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 4.1.4.1
Addiere und .
Schritt 4.1.4.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 4.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3
Addiere und .
Schritt 4.4
Dividiere durch .