Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 2$

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x - 2}}{x^{2} - 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 1.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 1.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 1.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 1.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[2, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 2, x \neq 3}$

Intervallschreibweise:

$[2, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 2, x \neq 3}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{\sqrt{x - 2}}{x^{2} - 9}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3