Analysis Beispiele

$lim_{x \to 9} \frac{40 + \sqrt{x}}{\sqrt{40 + x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 9} 40 + \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{40 + x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 9} 40 + lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{40 + x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $40$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{40 + lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{40 + x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{40 + \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{40 + x}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{40 + \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{\sqrt{lim_{x \to 9} 40 + x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{40 + \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{\sqrt{lim_{x \to 9} 40 + lim_{x \to 9} x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $40$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{40 + \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{\sqrt{40 + lim_{x \to 9} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $9$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{40 + \sqrt{9}}{\sqrt{40 + lim_{x \to 9} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{40 + \sqrt{9}}{\sqrt{40 + 9}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{40 + \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{40 + 9}}$

Schritt 9.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{40 + 3}{\sqrt{40 + 9}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $40$ und $3$ .

$\frac{43}{\sqrt{40 + 9}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Addiere $40$ und $9$ .

$\frac{43}{\sqrt{49}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{43}{\sqrt{7^{2}}}$

Schritt 9.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{43}{7}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{43}{7}$

Dezimalform:

$6.\overline{142857}$