Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{3 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (4 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Faktoren von $8 \sin (4 x) \cos (4 x)$ um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $8 \cos (4 x) \sin (4 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 8 \cos (4 x) \sin (4 x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (4 x)$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{8}{3} \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{8}{3} \cdot 1 \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$\frac{8}{3} \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{8}{3} \cdot \sin (0)$

Schritt 5.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{8}{3} \cdot 0$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $0$ .

$0$