Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} e^{- 8 x} \cos (x)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} e^{- 8 x} \cdot lim_{x \to 8} \cos (x)$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} - 8 x} \cdot lim_{x \to 8} \cos (x)$

Schritt 3

Ziehe den Term $- 8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 8 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \cos (x)$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{- 8 lim_{x \to 8} x} \cdot \cos (lim_{x \to 8} x)$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{- 8 \cdot 8} \cdot \cos (lim_{x \to 8} x)$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{- 8 \cdot 8} \cdot \cos (8)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$e^{- 64} \cdot \cos (8)$

Schritt 6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{64}} \cdot \cos (8)$

Schritt 6.3

Berechne $\cos (8)$ .

$\frac{1}{e^{64}} \cdot 0.99026806$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{e^{64}}$ und $0.99026806$ .

$\frac{0.99026806}{e^{64}}$

Schritt 6.5

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{0.99026806}{{2.71828182}^{64}}$

Schritt 6.6

Potenziere $2.71828182$ mit $64$ .

$\frac{0.99026806}{6235149080810880000000000000}$

Schritt 6.7

Dividiere $0.99026806$ durch $6235149080810880000000000000$ .

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