Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 - x - 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ als ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6