Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Schritt 1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{8}{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{8}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{x}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 2})$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 8 x^{- 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 8 (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{8}{x^{2}} + 2$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Schritt 4.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{8}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{8}{x} = 0$ mit $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{x}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 8$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 8$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 5.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 5.4.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 5.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 5.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 5.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 5.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{8}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{(2)}^{2}} + 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{8}{4} + 2$

Schritt 9.1.2

Dividiere $8$ durch $4$ .

$2 + 2$

Schritt 9.2

Addiere $2$ und $2$ .

$4$

Schritt 10

$x = 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 - 8 \ln (2)$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache $- 8 \ln (2)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = 4 - \ln (2^{8})$

Schritt 11.2.1.3

Potenziere $2$ mit $8$ .

$f (2) = 4 - \ln (256)$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 - \ln (256)$ .

$y = 4 - \ln (256)$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$ .

$(2, 4 - \ln (256))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13