Analysis Beispiele

$y = x e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $y = x e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{- x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x e^{- x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.2

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 3.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 3.4.2.3

Subtrahiere $e^{- x}$ von $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ um.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x} + e^{- x}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Schritt 6.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ heraus.

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 6.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.5

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- x} (- x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $e^{- (1)}$ mit $1$ .

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 10.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

Schritt 10.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

Schritt 10.1.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Schritt 10.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Schritt 10.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 2}{e}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Schritt 10.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{e}$

Schritt 11

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $e^{- (1)}$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Schritt 12.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x e^{- x}$ .

$(1, \frac{1}{e})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14