Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 x^{2} - 8 x - 16$ und $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 8 x - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 16)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6 x - 8$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 8 x - 16$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 8 x - 16$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $- 8$ um als $4$ plus $- 12$

$3 x^{2} + (4 - 12) x - 16 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 4 x - 12 x - 16 = 0$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 4 x) - 12 x - 16 = 0$

Schritt 6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 4) - 4 (3 x + 4) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 6.4

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $3 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 6.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 6.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 6.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{3}, 4$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{4}{3}, 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{4}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (- \frac{4}{3}) - 8$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$6 (\frac{- 4}{3}) - 8$

Schritt 10.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{- 4}{3} - 8$

Schritt 10.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{- 4}{3} - 8$

Schritt 10.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot - 4 - 8$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 - 8$

Schritt 10.2

Subtrahiere $8$ von $- 8$ .

$- 16$

Schritt 11

$x = - \frac{4}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{4}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{4}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{4^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 (1 (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 (\frac{16}{9}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.10

Multipliziere $- 4 (\frac{16}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.10.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{16}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.10.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.12

Multipliziere $- 16 (- \frac{4}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + 16 (\frac{4}{3}) + 3$

Schritt 12.2.1.12.2

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{16 \cdot 4}{3} + 3$

Schritt 12.2.1.12.3

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 3$

Schritt 12.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{64}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{64}{3} + 3$

Schritt 12.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{64}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} + 3$

Schritt 12.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{64}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} \cdot \frac{9}{9} + 3$

Schritt 12.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{64}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 3$

Schritt 12.2.2.5

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1}$

Schritt 12.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 12.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.2.8

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 64 \cdot 3 + 64 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $- 64$ mit $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 64 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.4.2

Mutltipliziere $64$ mit $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 576 + 3 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 576 + 81}{27}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1

Subtrahiere $192$ von $- 64$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 256 + 576 + 81}{27}$

Schritt 12.2.5.2

Addiere $- 256$ und $576$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{320 + 81}{27}$

Schritt 12.2.5.3

Addiere $320$ und $81$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{401}{27}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{401}{27}$ .

$y = \frac{401}{27}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (4) - 8$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$24 - 8$

Schritt 14.2

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$16$

Schritt 15

$x = 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = {(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 3$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (4) = 64 - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 3$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 64 - 4 \cdot 16 - 16 \cdot 4 + 3$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$f (4) = 64 - 64 - 16 \cdot 4 + 3$

Schritt 16.2.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$f (4) = 64 - 64 - 64 + 3$

Schritt 16.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.1

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$f (4) = 0 - 64 + 3$

Schritt 16.2.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$f (4) = - 64 + 3$

Schritt 16.2.2.3

Addiere $- 64$ und $3$ .

$f (4) = - 61$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 61$ .

$y = - 61$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ .

$(- \frac{4}{3}, \frac{401}{27})$ ist ein lokales Maximum

$(4, - 61)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18