Analysis Beispiele

$f (x) = x + \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\cos (x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - \sin (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 9

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 9.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 12.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 0$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 13

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 13.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Schritt 13.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $1 - \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 13.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Schritt 13.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Schritt 13.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Schritt 13.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 13.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 13.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $1 - \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 13.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Schritt 13.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.3.2.1.1

Berechne $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Schritt 13.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Schritt 13.3.2.2

Addiere $1$ und $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Schritt 13.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.75680249$ .

$1.75680249$

Schritt 13.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = \frac{π}{2}$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 13.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = x + \cos (x)$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 14