Analysis Beispiele

$f (x) = 8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x^{3})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{3}{x^{3}}$ und $x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 e^{x} + 4 \frac{3}{x}$

Schritt 3.7

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{x}$ .

$8 e^{x} + \frac{4 \cdot 3}{x}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$8 e^{x} + \frac{12}{x}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{12}{x} + 8 e^{x}$