Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima f(x)=8/3x^3-2x+1/3
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.5
Kombiniere und .
Schritt 1.2.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.6.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.4.2
Addiere und .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
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Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.2
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.5
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 4.1.2.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.2.6.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 4.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.4.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 5.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.3.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.3.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.3.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 5.5
Vereinfache .
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Schritt 5.5.1
Schreibe als um.
Schritt 5.5.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 5.5.3
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.3.1
Schreibe als um.
Schritt 5.5.3.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 5.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 5.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 5.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 5.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 9.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 10
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 11.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 11.2.1.2
Kombinieren.
Schritt 11.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 11.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.7
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.1.7.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.7.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.1.7.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.1.7.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.1.8.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.1.8.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 11.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.2.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 11.2.4
Kombiniere und .
Schritt 11.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.2.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.6.2
Addiere und .
Schritt 11.2.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 11.2.8
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 13.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.1.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 15
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 15.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 15.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.5.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 15.2.1.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.1.6
Kombiniere und .
Schritt 15.2.1.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 15.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.8.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 15.2.1.8.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.8.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.8.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.2.2
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.2.1
Addiere und .
Schritt 15.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 15.2.2.2.3
Addiere und .
Schritt 15.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
Schritt 17