Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2
Differenziere.
Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.3
Addiere und .
Schritt 1.2.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Vereinfache.
Schritt 1.3.1
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 1.3.2
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 2
Schritt 2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 2.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.4
Differenziere.
Schritt 2.4.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.4.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.4.3
Addiere und .
Schritt 2.4.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.4.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5
Potenziere mit .
Schritt 2.6
Potenziere mit .
Schritt 2.7
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.8
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 2.8.1
Addiere und .
Schritt 2.8.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11
Vereinfache.
Schritt 2.11.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11.3
Stelle die Terme um.
Schritt 2.11.4
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 4.1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 4.1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 4.1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.1.2
Differenziere.
Schritt 4.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.2.3
Addiere und .
Schritt 4.1.2.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Vereinfache.
Schritt 4.1.3.1
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 4.1.3.2
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.3
Setze gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 5.4.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2
Löse nach auf.
Schritt 5.4.2.1
Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.
Schritt 5.4.2.2
Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da nicht definiert ist.
Undefiniert
Schritt 5.4.2.3
Es gibt keine Lösung für
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 5.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.3
Vereinfache jeden Term.
Schritt 9.1.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.4
Addiere und .
Schritt 9.1.5
Vereinfache.
Schritt 9.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.7
Vereinfache jeden Term.
Schritt 9.1.7.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.8
Addiere und .
Schritt 9.1.9
Vereinfache.
Schritt 9.2
Subtrahiere von .
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 11.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
Schritt 13