Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.8

Kombiniere $7$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f' (x) = \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{21}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{21}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{21}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 2.10.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{21}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{21}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{21}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{21}{4}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{21 x^{- \frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.11

Multipliziere.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{21 x^{- \frac{3}{2}}}{8}$

Schritt 3.11.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{21}{8 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- \frac{21}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{21}{8 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{21}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Schritt 4.10

Multipliziere.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{21}{8}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $\frac{21}{8}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{8} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{21}{8}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.12

Multipliziere.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $21$ .

$f^{4} (x) = \frac{63 x^{- \frac{5}{2}}}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{63 x^{- \frac{5}{2}}}{16}$

Schritt 4.12.3

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$