Analysis Beispiele

$f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x + 1) (2 x - 1) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.4

Stelle $x$ und $2$ um.

$\int 2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.5

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\int 2 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 (x^{1} x) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{1 + 1} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1 d x$

Schritt 3.12

Addiere $- 1 x$ und $2 x$ .

$\int 2 x^{2} + x - 1 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

Schritt 10.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$