Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{5}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 x^{4} - 4 x^{5} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{5} d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{5} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{5} d x$

Schritt 6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{5} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} + \frac{- 4}{6} x^{6} + C$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x^{5} + \frac{2 (- 2)}{6} x^{6} + C$

Schritt 8.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x^{5} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} x^{6} + C$

Schritt 8.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{5} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} x^{6} + C$

Schritt 8.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} + \frac{- 2}{3} x^{6} + C$

Schritt 8.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{5}$ .

$F (x) =$ $x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$