Analysis Beispiele

$f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 6 {(2 x + 1)}^{5} (2) d x$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\int 12 {(2 x + 1)}^{5} d x$

Schritt 4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int {(2 x + 1)}^{5} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ als $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ um.

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Schritt 10.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{6} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $u^{6}$ mit $1$ .

$u^{6} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

${(2 x + 1)}^{6} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$ .

$F (x) =$ ${(2 x + 1)}^{6} + C$