Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 x h + h^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 x h + lim_{h \to 0} h^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $2 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{2 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{2 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{2 x \cdot 0 + 0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Multipliziere $2 x \cdot 0$ .

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Schritt 1.1.2.5.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0 x + 0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.5.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{0 + 0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x h + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x h + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x h + h^{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [2 x h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [2 x h]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2 x h$ nach $h$ gleich $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $2 h + 2 x$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 \cdot 0 + 2 x$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$