Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 6.1.4

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{0}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 6.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{0}{(x - 2) (x + 3)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(x - 2) (x + 3)$ .

$0$