Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - x}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x}{x^{2} - 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - lim_{x \to 1} x}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 4.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$