Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\csc (x) - \frac{1}{x}$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ - 0.1 & - 0.01668613 \\ - 0.01 & - 0.00166668 \\ - 0.001 & - 0.00016666 \\ - 0.0001 & - 0.00001666 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\csc (x) - \frac{1}{x}$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\csc (x) - \frac{1}{x}$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ 0.1 & 0.01668613 \\ 0.01 & 0.00166668 \\ 0.001 & 0.00016666 \\ 0.0001 & 0.00001666 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\csc (x) - \frac{1}{x}$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$