Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (7 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (7 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$ als ein Produkt um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wandle von $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ nach $\tan (7 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (5 x)}$ nach $\csc (5 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (7 x) \csc (5 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ - 0.1 & 1.75687007 \\ - 0.01 & 1.40287561 \\ - 0.001 & 1.4000287 \\ - 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1.4$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (7 x) \csc (5 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1.4$ .

$1.4$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (7 x) \csc (5 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ 0.1 & 1.75687007 \\ 0.01 & 1.40287561 \\ 0.001 & 1.4000287 \\ 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1.4$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (7 x) \csc (5 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1.4$ .

$1.4$