Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Schritt 2

Der Grenzwert von $\frac{\sin (x)}{x}$ für $x$ gegen $0$ ist $1$ .

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.4.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 2.4.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\cos (0)$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1$