Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} - \frac{2}{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{1 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{2}{1 - x^{2}}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{2}{1 - x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{2}{1 - x^{2}} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - x) (1 - x^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - x}$ mit $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{2}}{(1 - x) (1 - x^{2})} - \frac{2}{1 - x^{2}} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1 - x^{2}}$ mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{2}}{(1 - x) (1 - x^{2})} - \frac{2 (1 - x)}{(1 - x^{2}) (1 - x)}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - x^{2}) (1 - x)$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{2}}{(1 - x) (1 - x^{2})} - \frac{2 (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{2} - 2 (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x^{2} - 2 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 (1 - lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1^{2} - 2 (1 - lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1^{2} - 2 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.8.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.8.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.2.8.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{2})}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2})}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - lim_{x \to 1} x^{2})}$

Schritt 2.1.3.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2})}$

Schritt 2.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2})}$

Schritt 2.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1^{2})}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.8.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1^{2})}$

Schritt 2.1.3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.8.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{2} - 2 (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{2})} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{2} - 2 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{2} - 2 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2} - 2 (1 - x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 (1 - x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 (1 - x)]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 (1 - x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [1 - x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x - 2 \frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x - 2 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x - 2 (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x - 2 (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x - 2 (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x - 2 (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x - 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 x + 2}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.6

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{2})]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 - x$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 2.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 2.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 2.3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 2.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- (2 x)) + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 2.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 2.3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Schritt 2.3.15

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Schritt 2.3.16

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.17

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 2.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.3.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) \cdot - 1}$

Schritt 2.3.20

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) - 1 \cdot (1 - x^{2})}$

Schritt 2.3.21

Schreibe $- 1 (1 - x^{2})$ als $- (1 - x^{2})$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{(1 - x) (- 2 x) - (1 - x^{2})}$

Schritt 2.3.22

Vereinfache.

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Schritt 2.3.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{1 (- 2 x) - x (- 2 x) - (1 - x^{2})}$

Schritt 2.3.22.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{1 (- 2 x) - x (- 2 x) - 1 \cdot 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.22.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x - x (- 2 x) - 1 \cdot 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 x \cdot x - 1 \cdot 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 (x^{1} x) - 1 \cdot 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 x^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 x^{2} - 1 - - x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 x^{2} - 1 + 1 x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 2 x^{2} - 1 + x^{2}}$

Schritt 2.3.22.3.10

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{- 2 x + 3 x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.22.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} - 2 x + 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1}$

Schritt 3.1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.7.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + 2}{3 x^{2} - 2 x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x + 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x + 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $- 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.3.8.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{6 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{6 x - 2 + 0}$

Schritt 3.3.10

Addiere $6 x - 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2}{6 x - 2}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $6 x - 2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 1)}{6 x - 2}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 1)}{2 (3 x) - 2}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot - 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 1)}{2 (3 x - 1)}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot - 1}{2 (3 x - 1)}$

Schritt 3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{3 x - 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 1}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 1}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{3 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{3 - 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$