Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x^{2} - 1)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 {(x^{2} - 1)}^{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.8

Stelle die Faktoren von $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 0}$

Schritt 1.3.12

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 (x^{2})}$

Schritt 1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Schritt 1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Schritt 1.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{2 {(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x^{2} - 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Dividiere ${(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$ durch $1$ .

$2 {(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 {(1 - 1)}^{2}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 \cdot 0$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0$