Analysis Beispiele

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Schritt 1.2.4

Stelle die Terme um.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Schritt 1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Schritt 1.5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + 2 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.3.5.1

Schreibe $- (2 x + y)$ als $- 1 (2 x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 1.5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$- \frac{2 (1) + y}{(1) + 2 y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Schritt 1.7.3

Entferne die Klammern.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2 + 1}{1 + 2 (1)}$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2 (1)}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2}$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.7.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{3}$

Schritt 1.7.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 1 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - x + 2$

Schritt 3