Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ als $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ um.

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache $8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(\frac{8 + 1}{8})}^{8})}$

Schritt 5.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(\frac{8 + 1}{8})}^{8}$

Schritt 5.3

Addiere $8$ und $1$ .

${(\frac{9}{8})}^{8}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{8}$ an.

$\frac{9^{8}}{8^{8}}$

Schritt 5.5

Potenziere $9$ mit $8$ .

$\frac{43046721}{8^{8}}$

Schritt 5.6

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{43046721}{16777216}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{43046721}{16777216}$

Dezimalform:

$2.56578451 \dots$